Aufgabe 1: Kreuze an, welche der folgenden Aussagen richtig (das heißt immer richtig) oder falsch sind.
- Jede nichtleere beschränkte Menge M aus reellen Zahlen hat ein Maximum.
- Wenn die Funktion f bei c einen Grenzwert hat, ist c ein Häufungspunkt des Definitionsbereichs von f.
- Wenn die Funktion f bei c einen Grenzwert hat, gehört c zum Definitionsbereich von f.
- Wenn die Funktion f beschränkt ist, hat f mindestens eine Nullstelle.
- Der Betrag der Summe von zwei Zahlen ist nicht kleiner als die Summe der Beträge dieser Zahlen.
- Wenn das Infimum einer beschränkten, nicht leeren Menge M nicht in M liegt, ist es Häufungspunkt von
M.
- Wenn das Infimum einer beschränkten, nicht leeren Menge M in M liegt, ist es Minimum von M.
- Wenn die Funktionen f und g an der Stelle c den Grenzwert z haben, hat auch f+g bei c den Grenzwert z.
- Wenn die Zahl x im Intervall ]1;3[ liegt, ist ]1;3[ eine Umgebung von x.
- Wenn die Zahl x im Intervall ]3;5[ liegt, ist [3;5] eine Umgebung von x.
- Wenn die Zahl x im Intervall [5;7] liegt, ist [5;7] eine Umgebung von x.
- Wenn b eine positive reelle Zahl ist, hat das Intervall [-111b; 55b] ein Maximum.
- Wenn es für eine Funktion f Stellen a und b mit f(a) < 0 < f(b) gibt, hat f mindestens eine Nullstelle.
- Wenn eine Funktion f an der Stelle c einen Grenzwert hat, dann hat f mindestens einen Fixpunkt.
- Wenn 2 Fixpunkt von f ist und 3 Fixpunkt von g ist, dann ist 5 Fixpunkt von f + g.
- Wenn die Funktionen fund g an der Stelle c die Grenzwerte u und z haben, hat fg bei c den Grenzwert uz.
- Wenn u eine obere Schranke einer Menge M ist, dann ist auch 2u eine obere Schranke von M.
- Wenn u eine untere Schranke einer Menge M ist, dann ist auch u-4 eine untere Schranke von M.
- Wenn alle Funktionswerte einer stetigen, auf [1;5] definierten Funktion f in [1;5] liegen, hat f einen
Fixpunkt.
- Wenn a und b Häufungspunkte einer Menge M sind, dann ist auch (a+b)/2 ein Häufungspunkt von M.
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 richtig falsch
Lösung zu A1:
Während in der Klausur nur die Entscheidung richtig/falsch erwartet wurde, erfolgt hier jeweils zusätzlich eine kurze Erläuterung:
- 1. Falsch; Gegenbeispiel M = ] 0; 1[;
- 2. Richtig, da Voraussetzung beim Begriff des Grenzwerts.
- 3. Falsch; c muss lediglich Häufungspunkt des Definitionsbereichs von f sein.
- 4. Falsch; Gegenbeispiel f(x) = 1 mit Df = R.
- 5. Falsch; zB ist |-4 + 5| kleiner als |-4| + |5|.
- 6. Richtig; das ist ein im Unterricht bewiesener Satz.
- 7. Richtig. Wenn eine untere Schranke von in M liegt, ist sie Minimum von M.
- 8. Falsch; f+g hat bei c den Grenzwert 2z.
- 9. Richtig, da jede Zahl aus ]1;3[ in einem offenen Intervall innerhalb ]1;3[ liegt.
- 10. Richtig, da jede Zahl aus ]3;5[ in einem offenen Intervall innerhalb [3;5] liegt.
- 11. Falsch, da es kein offenes Intervall um 5 gibt, das Teilmenge von [5;7] ist.
- 12. Richtig, da 55b in [-111b; 55b] liegt und kein Element des Intervalls größer als 55b ist.
- 13. Falsch. Funktionen können ihr Vorzeichen wechseln, ohne dass eine Nullstelle vorliegt (z.B. die Kehrwertfunktion).
- 14. Falsch. Grenzwert und Fixpunkt haben nichts miteinander zu tun. (Gegenbeispiele finde der Leser selbst).
- 15. Falsch. Aus f(2) = 2 und g(3) = 3 folgt keineswegs (f+g)(5) = 5. (Z.B f(x) =2, g(x) = 2x-3).
- 16. Richtig. Das ist die Produktregel für Grenzwerte.
- 17. Falsch. Wenn u negativ ist, ist 2u kleiner als u und damit unter Umständen keine obere Schranke mehr.
- 18 Richtig. Zusammen mit einer unteren Schranke ist auch jede kleinere Zahl eine untere Schranke.
- 19. Richtig. Das ist der Fixpunktsatz für stetige Funktionen.
- 20. Falsch. Gegenbeispiel: a = 0, b = 4, M = [0; 4] \ [1;3]
Aufgabe 2: Begründe, warum die Ungleichung |2x| < |x + 2| + |x - 2| für alle reellen Zahlen x erfüllt ist;
bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung | x - 2 | < | x + 2|.
Lösung zu A2:
Nach der Summenungleichung gilt |2x| = |(x+2) + (x-2) | < |x + 2| + |x - 2|.
Da die linke Seite der Ungleichung | x - 2 | < | x + 2| nicht negativ ist, ist | x - 2 |2 < | x + 2|2 eine äquivalente Ungleichung.
Da x2 - 4x + 4 < x2 + 4x + 4 äquivalent zu x > 0 ist, ist die gesuchte Lösung L = R+ (Menge der positiven reellen Zahlen).
Aufgabe 3: Durch die Definition a * b := a + b - 5 wird in der Menge Z der ganzen Zahlen eine Verknüpfung definiert. Zeige, dass n = 5 bezüglich dieser Verknüpfung neutrales Element ist, und bestimme das Gegenelement von 3.
Lösung zu A3:
Es ist zu zeigen, dass für jede ganze Zahl a die Gleichung a * 5 = x erfüllt ist.
Wegen a * 5 = a + 5 - 5 = a ist das der Fall, so dass n = 5 als neutrale Element nachgewiesen ist.Das Gegenelement zu 3 sei mit x bezeichnet. Dann gilt x * 3 = n, also x + 3 - 5 = 5 und somit x = 7.
Das gesuchte Gegenelement von 3 ist daher 7.
Aufgabe 4: Die Funktion f mit dem Definitionsbereich D = ]4; 99[wird durch die Zuordnungsvorschrift f(x) = x2 + 4x - 11 definiert.
a) Zeige, dass 4 und 5, nicht aber 2004 Häufungspunkte von D sind.
b) Erkläre, was die Aussage f hat an der Stelle 4 einen Grenzwert bedeutet, und weise unter Verwendung der Definition nach, dass f an der Stelle 4 einen Grenzwert hat.
c) Weise unter Verwendung von Grenzwertsätzen nach, dass f an der Stelle 5 einen Grenzwert hat. Gib die Aussagen der verwendeten Grenzwertsätze (Voraussetzung und Behauptung) an.
d) Erkläre, wann eine Funktion an einer Stelle c stetig heißt, und beurteile damit die Richtigkeit der Aussagen f ist bei 4 stetig und f ist bei 5 stetig.
Lösung zu A4:
Zu a)
Es ist zu zeigen, dass für jedes positive d die Intervalle ]4-d; 4+d[ und ]5-d;5+d[ mindestens eine von 4 bzw. 5 verschiedenes Element der Menge D enthalten. Man darf annehmen, dass d kleiner als 1 ist, - größere Intervalle enthalten dann erst recht Elemente von D. Mit den Zahlen 4+d/2 und 5+d/2 hat man Elemente von D, welche in den vorgegebenen Intervallen ]4-d; 4+d[ und ]5-d;5+d[ liegen.
2004 ist kein Häufungspunkt von D, da (z.B.) das Intervall ]2003; 2005[ kein Element von D enthält.
Zu b)
Für den Häufungspunkt 4 von D bedeutet die angegebene Aussage: Es gibt eine reelle Zahl g mit folgender Eigenschaft: Zu jedem positiven e gibt es ein positives d, so dass für alle Elemente von D\{4}, die von 4 weniger als d entfernt sind, f(x) zwischen g-e und g+e.
Nachfolgend wird gezeigt, dass f an der Stelle 4 den Grenzwert g = 21 hat. Zum Nachweis wähle man zu vorgegebenen positiven e den Wert d := e/107.
Wegen |f(x) - 21| = |x2 + 4x - 32| = |x-4| . |x+8| gilt wegen 0 < x+8 < 99+8 = 107 die Ungleichung |f(x) - 21| < 107 |x-4| .
Für x aus ]4-e/107; 4+e/107[ \ {4} ist daher |f(x) - 21| < 107 . e/107 = e .
Zu c)
Benutzt werden die folgenden Grenzwertsätze, bei denen jeweils vorausgesetzt wird, dass die beiden Funktionen g und h an einem Häufungspunkt ihres gemeinsamen Definitionsbereichs c Grenzwerte r bzw. s haben:
- Summenregel: g +h hat bei c den Grenzwert r + s.
- Produktregel: g.h hat bei c den Grenzwert r.s .
Alle Grenzwerte werden nachfolgend an der Stelle 5 gebildet. Wegen lim x = 5, lim 4 = 4 und lim -11 = -11 folgt dann nach der Produktregel lim x2 = 25 und lim 4x = 20;
daraus ergibt sich nach der Summenregel lim x2 + 4x - 11 = 25 + 20 - 11, also lim f(x) = 34.Zu d)
Stetigkeit ist eine Eigenschaft von Funktionen, die an Stellen des Defintionsbereichs vorliegt bzw. nicht vorliegt. Dabei heißt die Funktion f stetig bei c, wenn c ein isolierter Punkt von D ist (also ein Element von D, das kein Häufungspunkt ist) oder wenn an der Stelle c ein Grenzwert von f existiert und gleich dem Funktionswert ist.
Die Aussage f ist bei 4 stetig ist falsch, da 4 nicht zum Definitionsbereich von f gehört.
Die Aussage f ist bei 5 stetig ist richtig, da f an der Stelle 5 den Grenzwert 34 hat, der mit dem Funktionswert f(4) übereinstimmt.
Aufgabe 5: Wir betrachten die auf ganz R definierte Funktion f mit f(x) = 5x3 + 2x - 55.
a) Zeige, dass f mindestens eine Nullstelle hat.
b) Beschreibe ausführlich ein Verfahren, mit dem sich eine Nullstelle der Funktion f mit einem Fehler < 0,001 bestimmen lässt.
c) Berechne eine Nullstelle von f mit einem Fehler < 0,1 .
Lösung zu A5 (Andreas B.):
Zu a)
Die Funktion f ist stetig, weil sie ganzrational ist. Weil für diese stetige Funktion f(0) = -40 und f(5) = 595 ist, kann man für a=0 und b=5 den Nullstellensatz anwenden, welcher sagt:
Wenn eine stetige Funktion f auf einem abgeschlossenen Intervall [a;b] definiert ist und f(a) < 0 < f(b) ist, dann gibt es ein c aus [a;b] mit f(c) = 0.Damit ist gezeigt, dass f mindesten eine Nullstelle hat.
Zu b)
Um eine Nullstelle einer stetigen Funktion f mit einem Fehler < 0,001 zu bestimmen, wähle man aus dem Definitionsbereich der Funktion f die in Aufgabenteil a) angegebenen Zahlen a und b mit f(a) < 0 und f(b) > 0. Nach dem Nullstellensatz hat f nun in dem Intervall [a;b] eine Nullstelle.
Die Nullstelle c einer Funktion f wurde mit einer Genauigkeit ¨< 0,001 erreicht, wenn man c := (a+b)/2 setzt und der halbe Abstand avon a und b nicht größer als 0,001 ist, das heißt (b-a)/2 < 0,001.
Ist dies nicht der Fall, wird ueberprueft ob f(c) < 0 oder f(c) > 0.
Wenn f(c) < 0, dann wird das linke Intervallende a neu definiert als a := c und das rechte Intervallende b beibehalten.
Wenn f(c) > 0, dann wird das linke Intervallende a beibeahlten und das rechte Intervallende b neu definiert als b := c.
Nun hat man ein neues Intervall [a;b] mit f(a) < 0 und f(b) > 0, also liegt die Nullstelle dazwischen.
Bei jedem Schritt wird die Länge des Intervalls [a; b] halbiert. Nach n Schritten - ausgegangen vom Intervall [a; b] = [0; 5] der Länge 5 hat - das nun erhaltene Intervall daher die Länge (b-a)/2n
Nach 13 Schritten hat das die gesuchte Nullstelle enthaltende Intervall die Länge 5/213 = 0,00061... < 0,001 . Wählt man nun einen beliebigen Wert aus diesem Intervall als Näherungswert für die gesuchte Nullstelle, ist der Fehler kleiner als 0,001.
Zu c)
Man wähle zunächst a := 1,7 und b := 2,2.
f(a) = f(1,7) = -12,035 < 0 und f(b) = f(2,2) = 17,64 > 0; c := (1,7 + 2,2)/2 = 1,95 .
- Wegen f(c) = f(1,95) = 0,97 ... > 0 behalte man a bei und setze b := 1,95; c := (1,7 + 1,95)/2 = 1,825.
- Wegen f(c) = f(1,825) = -5,95 ... < 0 setze man a := 1,825 und behalte b bei; c := (1,825 + 1,95)/2 = 1,8875.
- Wegen f(c) = f(1,8875) = -2,60 ... < 0 setze man a := 1,8875 und behalte b bei.
Da nun (b - a)/2 = 0,0625 kleiner als 0,1 ist, ist jede Zahl aus [1,8875;1,95] ein geeigneter Näherungswert.
Ergebnis: Mit einer Genauigkeit < 0,01 ist als Nullstelle von f zum Beispiel der Wert c = 1,9 anzugeben.
Aufgabe 6: Auf dem Intervall [0; 55] wird eine Funktion f durch die Vorschrift f(x) = WURZEL(2x + 5) definiert.
a) Finde zwei reelle Zahlen a und b, so dass für alle x aus [a; b] der Funktionswert f(x) wieder in [a; b] liegt. Weise nach, dass a und b diese Eigenschaft haben.
b) Begründe, dass f mindestens einen Fixpunkt c hat, und berechne einen solchen Fixpunkt c.
Lösung zu A6 (Malte B.) :
Zu a)
Wähle a := 0, b := 10; für alle x aus [a; b] gilt dann:
0 < x < 10
0 < 2x < 20
5 < 2x + 5 < 25
Wurzel(5) < Wurzel(2x + 4) < 5
Und da 2 = Wurzel (4) < Wurzel(5) ist, folgt 2 < Wurzel (2x+5) < 5
Also liegt für x aus [0; 10] der Funktionswert f(x) in [2; 5], also auch in [0; 10].
a = 0 und b = 10 haben somit die verlangte Eigenschaft.
Zu b)
1. Begruendung dafuer, dass f einen Fixpunkt hat :
Die Voraussetzung fuer den Fixpunktsatz sind :
- f ist eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall [a; b];
- f bildet [a;b] in sich ab, d.h. fuer alle alle x aus [a,b] gilt : f(x) aus [a,b].
Da die lineare Funktion mit dem Funktionsterm 2x+5 stetig ist, ist nach dem Wurzelsatz auch f stetig. Zusammen mit dem Ergebnis von Aufgabenteil a) sind daher die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes - und damit auch die Existenz eines Fixpunkts - nachgewiesen.
2. Der Fixpunkt wird durch das Lösen der entsprechenden Gleichung bestimmt:f(x) = x bedeutet Wurzel(2x+5) = x;
Für die (aufgrund des Definitionsbereichs) nichtnegativen Werte von x ist das äquivalent zu 2x + 5 = x2, also x2 - 2x - 5 = 0
Die Diskriminante dieser Gleichung ist 6.
Somit wird die nichtnegative Loesung der Gleichung - und damit der Fixpunkt - erhalten als 1 + Wurzel(6).Ergebnis: Der gesuchte Fixpunkt ist c = 1 + Wurzel(6).
Zusatzaufgabe: Wenn M eine Menge reeller Zahlen und c ein Häufungspunkt von M ist, dann ist c immer auch ein Häufungspunkt von M. Das ist zu beweisen! (Bemerkung: Mit M' wird bekanntlich die Menge der Häufungspunkte von M bezeichnet).
Lösung zu AZ:
Zu zeigen ist, dass für jedes positive d das Intervall ] c - d; c + d [ unendlich viele Elemente von M enthält.
Da c ein Häufungspunkt von M' ist, enthält jedes offene Intervall um c, also auch das Intervall ] c - d/2; c + d/2 [ ein Element p von M'. Da p Häufungspunkt von M ist, muss das Intervall ] p-d/2; p+d/2 [ unendlich viele Elemente von M enthalten.
Da nach Konstruktion ] p-d/2; p+d/2 [ Teilmenge von ] c - d; c + d [ ist, liegen diese unendlich vielen Elemente von M alle in ] c - d; c + d [, so dass c als Häufungspunkt von M nachgewiesen ist.