Übung: 20 quadratische Gleichungen

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen

01: x2 + 9x - 10 = 0 02: (x-1)(x-2) = 20
03: 2x2 + 3x + 21 = 0 04: x2 - 2x - 63 = 0
05: (x-1)(x-2)+(x-3)(x-4) = 26 06: x2 + x + 1 = 0
07: 3x2 - 7x = 230 08: x2 + 5x - 50 = 0
09: (2x+1)2 - 20x = 21 10: 7x2 - 23x + 16 = 0
11: x2 + x = 156 12: (2x-1)2 + (2x+1)2 = 10
13: x2 - 9 = 0 14: x2 - x - 380 = 0
15: (x-1)2 + (x+1)2 = (x-7)2 16: 3x2 + 5x = 0
17: 3x2 - 5x - 1 = 0 18: 3x2 + 5 = 0
19: 3x2 - 5 = 0 20: (x+1)(x+2)(x+3)
= (x+4)(x+5)(x-1)

Hinweise zur Lösung

1. Allgemeine Hinweise zum Standardverfahren

Ein Standardverfahren zum Lösen quadratischer Gleichungen besteht aus den folgenden Schritten:

(1) Bringe die Gleichung durch Auflösen der Klammern, Sammeln aller Terme auf der linken Seite der Gleichung, Zusammenfassen und Dividieren durch den Koeffizienten von x2 auf die "Normalform der quadratischen Gleichung": x2 + px + q = 0 .

(2) Berechne den Wert von D: D = (p/2)2 - q .
Am Vorzeichen dieser "Diskriminante" ist zu erkennen, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat.

(3) Es gibt die folgenden drei Fälle mit den jeweils angegebenen Lösungen:

(3.1) Wenn die Diskriminante negativ ist, gibt es keine Lösungen; die Lösungsmenge ist leer.

(3.2) Wenn die Diskriminante den Wert null hat, gibt es genau eine Lösung, nämlich -p/2 .

(3.3) Wenn die Diskriminante positiv ist, gibt es genau zwei Lösungen, nämlich -p/2 - Wurzel(D) und -p/2 + Wurzel(D).

2. Hinweise zu Verfahren in Sonderfällen

Wenn auch das oben angegebene Standardverfahren in allen Fällen quadratischer Gleichungen zum Ziel führt, gibt es doch oft schnellere und einfachere Wege, die Lösungsmenge zu erkennen. Die Idee und Vorgehensweise solcher Verfahren ist in der ausführlicheren Zusammenstellung zum Lösen von Gleichungen beschrieben.

3. Spezielle Hinweise zu den angegebenen Aufgaben

01. Die Lösungen sind ganzzahlig. Sie sind auch durch Faktorzerlegung der linken Seite zu ermitteln. Mach auf jeden Fall die Probe durch Einsetzen der errechneten Werte.

02. Es geht nicht ohne Ausmultiplizieren der Klammern und Zusammenfassen auf der linken Seite. Danach weiterrechnen mit Standardverfahren oder wie im Hinweis zu 01 angegeben.

03. Beachte, dass vor Anwendung der Formel für die Diskriminante der Koeffizient von x2 nicht verschieden von 1 sein darf. Wenn du die erste binomische Formel kennst, kannst du diese Aufgabe auch durch eine Abschätzung lösen, wenn du beachtest, dass nichts durch eine Verkleinerung größer wird.

04. Hier gilt das Gleiche wie bei Aufgabe 01.

05. Nach Auflösen aller Klammern und Zusammenfassen auf der linken Seite der Gleichung (beachte den Hinweis bei 03 auf den Koeffizienten von x2 !) gelten die Hinweise von 01.

06. Noch schneller als das Standardverfahren führt die Anwendung der ersten binomischen Formel zum Ziel.

07. Auch wenn die Rechnung etwas mühsam ist, da es hier nicht ohne Brüche geht: Die Lösungen sind rationale Zahlen, können also ohne Wurzelzeichen geschrieben werden. Unbedingt die Probe machen!

08. Es gilt hier das Gleiche wie bei 01.

09. Es gilt hier das Gleiche wie bei 01, die Gleichung muss nur zuerst auf Normalform gebracht werden.

10. Ein geschickter Lösungsweg ist hier das Faktorisieren; die Ergebnisse sind rationale Zahlen.

11. Nicht schwieriger als 01.

12. Nach Auflösen der Klammern und Zusammenfassen ist Faktorisieren ein schnellerer Weg als das Standardverfahren.

13. Dazu braucht man nichts über quadratische Gleichungen zu wissen.

14. Nicht anders als 01, auch wenn die Zahlen etwas größer sind.

15. Die erste dieser Übungsaufgaben mit irrationalen Ergebnissen, zu lösen nach dem Standardverfahren.

16. Faktorisieren ist hier viel einfacher als die Anwendung des Standardverfahrens.

17. Ohne Brüche geht es hier nicht; die Lösungen sind irrational.

18. Diese Aufgabe ist ohne Rechnung allein durch kurzes Nachdenken zu lösen. Links steht die Summe aus dem Quadrat einer Zahl und einer positiven Zahl.

19. Auch wenn die Lösungen irrational sind. Schneller als das Standardverfahren ist Faktorisierung.

20. Ausmultiplizieren von linker und rechter Seite ergibt zum Beispiel auf der rechten Seite x3 + 8x2 + 11x - 20. Nach Subtraktion von x3 auf beiden Seiten der Gleichung und Zusammenfassen bleibt eine besonders harmlose quadratische Gleichung, deren (irrationale) Lösungen durch Anwendung des Standardverfahrens oder einfacher der dritten binomischen Formel erhalten werden.